PCMI – Activité 1 : Dynamique complexe et Modélisation

Nous étudions des systèmes atomiques et moléculaires du point de vue de l’analyse qualitative. La mécanique quantique est la théorie la plus adaptée pour étudier les propriétés et les détails fins de systèmes aussi petits. Cependant, les structures observées, par exemple dans les niveaux d’énergie d’une molécule, peuvent être élégamment interprétées dans le cadre de la dynamique Hamiltonienne non linéaire associée à la théorie des groupes et à des idées mathématiques plus récentes comme la théorie des bifurcations ou la topologie algébrique. Notre domaine de recherche est ainsi à l’intersection de la physique, de la chimie et des mathématiques.

Invariant topologiques et distribution des niveaux d’énergie d’une molécule

Boris Zhilinskii, Guillaume Dhont

Les niveaux d’énergie des modes dégénérés de molécules toupies sphériques, comme le méthane CH4 ou le silane SiH4, peuvent souvent être regroupés en quelques bandes contenant chacune un nombre fini de niveaux. La structure de ces bandes peut évoluer avec un paramètre tel que le moment cinétique total. Il arrive que quelques niveaux se séparent d’une branche pour en rejoindre une autre : c’est le phénomène de redistribution. En utilisant une description quantique pour les variables rapides et une description classique pour les variables lentes, ce phénomène peut être mathématiquement décrit par des fibrés caractérisés par des invariants topologiques : les nombres de Chern. Par conséquent, nous avons montré que la réorganisation des bandes d’énergie est un phénomène topologique, similaire aux transitions de phase topologiques en physique du solide.

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Construction d’objets symétriques

Boris Zhilinskii, Guillaume Dhont

Un autre travail concerne la construction d’objets symétriques. Pour les groupes continus comme SO(2), nous pouvons introduire pour les objets non totalement symétriques une structure mathématique connue sous le nom de module. Nous avons montré que pour les applications physiques, nous devons traiter de modules libres et de modules non–libres. Ces deux types de modules peuvent être associés à une représentation géométrique différente, voir figure 2. Dans un module libre, tous les réseaux possèdent la même dimension, alors qu’un module non–libre est associé avec des réseaux de dimension n mais aussi des réseaux de dimensions inférieures.

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1ère Mise en évidence du phénomène de déstabilisation gyroscopique dans une molécule polyatomique

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Arnaud Cuisset, Dimitrii Sadovskii

Beaucoup d’entre nous ont déjà apprécié le spectacle d’une toupie en rotation soumise à des frottements : la toupie, tournant rapidement autour d’un axe stationnaire stable, perd rapidement son moment angulaire j (ainsi que son énergie) et ralentit progressivement. Soudain l’axe de la toupie devient instable, elle vacille et un changement brutal de sa position s’ensuit. En d’autres termes, le système subit une bifurcation. Dans le cas d’une toupie tippe-top, la rotation autour de son point inférieur est stable pour de faibles valeurs du moment angulaire j et devient instable pour des j élevés. Un phénomène assez semblable se produit dans une molécule de diméthylsulfoxyde (DMSO, (CH3)2SO) en rotation libre. Pour la première fois dans une molécule polyatomique de si grande taille, une bifurcation quantique induite par une déstabilisation gyroscopique a été observée. Ce phénomène inhabituel en dynamique rotationnelle a été découvert dans les états rovibrationnels de la bande fondamentale du mode de pliage asymétrique ν23 du DMSO dont le spectre d’absorption haute résolution en phase gazeuse a été observé en même temps que celui du mode symétrique ν11 grâce aux propriétés exceptionnelles de la ligne AILES dans le domaine de l’infrarouge lointain.

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Figure 3 : Wolfgang Pauli et Niels Bohr observant une toupie tippe-top lors de l’ouverture de l’Institut de Physique à l’Université de Lund en Suède, le 31 mai 1951 Figure 4 : Surface d’énergie rotationelle du DMSO évoluant avec j calculée pour le mode ν23

Perturbations de l’atome d’hydrogène par un champ électromagnétique inhomogène

Dimitrii Sadovskii, Daniele Fontanari

L’activité dynamique complexe et modélisation travaille sur une description qualitative sur des situations concrètes observées dans les systèmes atomiques et moléculaires. Ceci inclut l’analyse des symétries du problème, des comportements dynamiques classiques non-linéaires ( bifurcations, monodromie, …) et des correspondances avec les effets quantiques. Dans ce but, une large variété d’outils mathématiques modernes sont utilisés.

Analyse qualitative sur des systèmes moléculaires et atomiques

Dans le but d’aller au delà de la description bien connue des effets Stark et Zeeman induits par un champ électromagnétique homogène, Dimitri Sadovskii et Daniele Fontanari ont étudié les perturbations apportées par un champ inhomogène statique dans lequel un atome d’hydrogène serait plongé. En particulier, nous avons découvert que ce type de champ peut conduire dans certaines configurations à un système Hamiltonien intégrable et asynchrone qui parfois peut être décrit comme 2 moments angluaires faiblement couplés uniquement pour des termes d’ordre supérieur. La figure 5présente la géométrie de ce type de systèmes et illustre les correspondances classiques et quantiques mises en évidence.

Manifestations quantiques de la stabilité de Nekhoroshev

Dans sa théorie classique Nekhoroshev a établi qu’un système faiblement perturbé sous certaines conditions conserve sa stabilité durant une longue durée. Au LPCA, nous avons étudié une correspondance directe à la théorie classique de Nekhoroshev dans les systèmes quantiques. Il a été explicitement montrée que dans des systèmes quantiques simples où 2 moments angulaires sont couplés, on pouvait repérer dans les états d’énergie stationnaires des structures spécifiques (géométries des résonances) caractéristiques de la la théorie classique de Nekhoroshev pour des systèmes Hamiltoniens perturbés, asynchrones et intégrables. La figure 6 illustre ce point. Ce travail a été réalisé en collaboration avec le Pr. Fassò de l’université de Padoue en Italie.

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Figure 5 : Cartographie des fonctions énergie-moments de l’atome d’hydrogène pour différentes perturbations du champ électromagnétique inhomogène. 2 de ces figures ont été superposées avec la distribution des états stationnaires quantiques.

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Figure 6 : Structure des états stationnaires d’un système quantique perturbé. Les zones violettes mettent en évidence les correspondances avec la théorie classique de Nekhoroshev.